Áreas y perímetros de los polígonos

Perímetro de un polígono: Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.

Área: Es la medida de la región o superficie encerrada por una figura plana



1 Área de un cuadrado:

2 Área de un rectángulo:

3 Área de un rombo:





4 Área de un romboide:

P = 2 · (a + b)

A = b · h




5 Área de un trapecio:




6 Área de un triángulo:

 

7 Área de un polígono:

A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.



8 Área de un polígono regular:

¿Cómo calcular los ángulos y diagonales en polígonos convexos?

• Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos.

Fórmula
nd=          n(n-3)    
                    2    

Ejemplo: ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 12 lados?

             *El polígono tiene 54 diagonales

               n=12
               nd=      12(12-3)     =         12(9)       =       108     
                                 2                          2                     2
               =54

•  Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígono:

Si n es el número de lados de un polígono:

S= (n − 2)  180°

Ejemplo: ¿Cuánto es la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular?
       

          S= (5 - 2) 180°

          S= (3) 180°                               540°

          S=540°

Polígonos

 

Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.

Elementos de un polígono

1 Lados: Son los segmentos que lo limitan.

2 Vértices: Son los puntos donde concurren dos lados.

3 Ángulos interiores de un polígono: Son los determinados por dos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígono:

Si n es el número de lados de un polígono:

(n − 2) · 180°

4 Diagonal: Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos

Número de diagonales de un polígono:

Si n es el número de lados de un polígono::

n · (n − 3) : 2

CLASIFICACIÓN

Según sus lados:

Triángulos

Tienen 3 lados.

Cuadriláteros

Tienen 4 lados.

Pentágonos

Tienen 5 lados.

Hexágonos

Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados.

Octágonos

Tienen 8 lados.

Eneágono

Tienen 9 lados.

Decágono

Tienen 10 lados.

Endecágono

Tienen 11 lados.

Dodecágono

Tienen 12 lados.

Tridecágono

Tienen 13 lados.

Tetradecágono

Tienen 14 lados.

Pentadecágono

Tienen 15 lados.

2 Según sus ángulos:

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°. 
Todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos

Si un ángulo mide más de 180°. 
Si una de sus diagonales es exterior.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

El enunciado textual de este teorema dice lo siguiente: 

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:


                     

De la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

• EJEMPLO DE APLICACIÓN

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

a= √10 ² - 6²

a= √100 - 36

a=  √64

a=   8

Teorema de Thales de Mileto

"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen triángulos semejantes"

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo B'C' a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

• EJERCICIO

En el triángulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicamos la fórmula, y tenemos