Problemas

Ley de los cosenos

Ejemplo:

En el siguiente triángulo α= 60°, b= 3m y c=4m. ¿Cuánto es a?



Estrategia:

Los datos son:

α = 60°

b= 3m


c = 4m

a=?




La ecuación a utilizar es:



Reemplaza los valores en la ecuación como se demuestra a continuación:

a2= b2 + c2– 2bc cos α

a2= (3m)2 + (4m)2– (2) (3m) (4m) cos 60°

a2= 9m2 + 16m2 – (24m2) (0.8660)

a2= 25m2 – (24m2) (0.5) =


a2= 25m2 – 12m2

a2= 13m2

Ahora hay que buscar la raíz cuadrada usando la calculadora:




La respuesta es: la medida del lado a es 3.6m

Problemas

Ley de los senos

• Ejemplo 1:

Encuentra la medida del lado b para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:






Estrategia para resolver el ejercicio:

Determina los datos:

a=10m

A=30°

B =40°


b = ?


Utiliza la siguiente ecuación:






Despeja para la desconocida:

Teoremas para resolver triángulos oblicuos

Ley de los senos

La ley de los senos se usa para encontrar los ángulos de un triángulo en general. Se se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos dos, se puede usar junto con la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado y los otros dos ángulos.

Si se especifican dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, entonces se puede calcular el ángulo opuesto al otro. El tercer ángulo se determina por el hecho de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo debe ser igual a 180 grados.






Ley de los cosenos

La ley de los cosenos para el cálculo de uno de los lados de un triángulo cuando se conocen el ángulo opuesto y los otros dos lados. Puede ser utilizado en conjunción con la ley de los senos para encontrar todos los lados y ángulos.

Identidades trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Relación pitagórica
Identidad de la razón


De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.En términos de   

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

Ejemplo 2:

Utilizando la identidad


Entonces:


(*)

substituyendo en (*):


Realizando las operaciones necesarias se llega a:


Y queda demostrado.

El resto de las funciones se realiza de manera análoga.