Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

El enunciado textual de este teorema dice lo siguiente: 

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:


                     

De la ecuación se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

• EJEMPLO DE APLICACIÓN

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

a= √10 ² - 6²

a= √100 - 36

a=  √64

a=   8

Teorema de Thales de Mileto

"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen triángulos semejantes"

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo B'C' a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

• EJERCICIO

En el triángulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicamos la fórmula, y tenemos

Triángulos semejantes

El teorema de semejanza de triángulos dice que son triángulos semejantes aquellos que tienen la misma "forma" sólo que son diferentes en tamaño: un triangulo es mas grande que otro.
El enunciado textual de este teorema dice lo siguiente:
"Dos triángulos son semejantes si todos sus lados son respectivamente proporcionales, o bien, son semejantes si tienen todos sus ángulos respectivamente iguales"
Para saber si un par de triángulos son semejantes, no es necesario comprobar sus 6 elementos (3 lados y 3 ángulos) cumplan el teorema, pues si 3 elementos lo cumplen los otros tres forzosamente también lo cumplen.

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. En tal caso cumplen que:

1. Los ángulos correspondientes son iguales:

2. Los segmentos correspondientes son proporcionales:

donde , se la razón de semejanza.

• EJEMPLO

            

Triángulos congruentes

Para empezar,dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño

Entonces decimos que dos triángulos son congruentes cuando sus 3 ángulos y sus 3 lados miden lo mismo.
Para establecer que dos triángulos son congruentes se utilizan los llamados "Criterios de congruencia", los cuales son:

1.- Criterio LAL (lado,ángulo,lado:  Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.                                           

 2.- Criterio ALA (ángulo, lado, ángulo): Si dos ángulos y un lado de un triángulos son iguales a dos ángulos y un lado de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.                                                               

                                                                            

3.- Criterio LLL (lado, lado, lado): Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente iguales con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.

Ángulos entre paralelas

Los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

• Ángulos correspondientes: Son los que están del mismo lado de la paralela y del mismo lado de la transversal.
• Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
• Ángulos alternos internos: Son internos a las paralelas pero alternos en la transversal.

Ejemplo:

Ángulos correspondientes: 1 y 5 - 2 y 6 - 3 y 7 - 4 y 8.

Ángulos alternos externos: 1 y 7 - 2 y 8.

Ángulos alternos internos: 4 y 6 - 3 y 5

De esto deducimos 4 principales principios:

1.- Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

2.- Los ángulos correspondientes en paralelas son congruentes.

3.- Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes.

4.- Los ángulos alternos externos son congruentes.

Triángulos

Un triángulo es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos.
Un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Clasificación de triángulos

Según sus lados	Triángulo equilátero Tres lados iguales	Triángulo isósceles Dos lados iguales	Triángulo escaleno Tres lados desiguales
Según sus ángulos	Acutángulo Tres ángulos agudos	Rectángulo Un ángulo recto	Obtusángulo Un ángulo obtuso

Teoremas

• Relación entre lados

En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos.
a< b+c

b< a+c
c< a+b

• Relación entre ángulos

En todo triángulo la suma de sus ángulos (interiores) es igual a 180°.

• Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Teoremas sobre rectas paralelas

• Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

• Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

• Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

• Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

• Dadas las rectas p, q y r, si p es paralela a q y q es paralela a r, entonces p es paralela a r.

• Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.

• Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los angulos alternos exteriores son congruentes.

• Si dos rectas se cortan por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

• Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.

Ángulos

Se le llama ángulo a la amplitud entre dos lineas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice.
Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos lineas con origen común.
La amplitud del giro del un ángulo se puede medir, y la unidad que se utiliza para expresarlo se llama grado.
El ángulo se anota: 

CLASIFICACIÓN

• Clasificación de ángulos según su medida

Nombre	Medidas
Nulo	O°
Agudo	Mayor a 0° menor a 90°
Recto	90°
Obtuso	Mayor a 90° menor a 180°
Llano	180°
Oblicuo	Mayor a 180° menos de 360°
Perigonal	360°

• Clasificación de ángulos según su suma

Dos ángulos son complementarios si suman 90°
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°

TEOREMAS

Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.

Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.

Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.

Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.

Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.

Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.

Teorema XI: Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Teorema XII: Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son iguales.

Teorema XIII: Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios.

Teorema XIV: Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, son iguales.